New PDF release: Semesterpaket Analysis: Analysis I

By Friedmar Schulz

ISBN-10: 3486706772

ISBN-13: 9783486706772

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11 Beispiel. 9). Beweis. 1) gilt }. (I) 1 ∈ A, denn 1 = 1(1+1) 2 . 1) erfüllt. 1) gilt für n + 1. Also ist n + 1 ∈ A. 1) gilt für alle n ∈ N. 12 Beweismethode der vollständigen Induktion. Für alle n ∈ N sei An eine Aussage. Es soll bewiesen werden, dass An für alle n ∈ N wahr ist. (I) Es wird nachgewiesen, dass A1 wahr ist (Induktionsanfang). (II) Unter der Annahme, dass An für ein n ∈ N wahr ist (Induktionsvoraussetzung) beweist man, dass die Aussage An+1 wahr ist (Induktionsschluß, Beweis der Induktionsbehauptung).

Dann gilt die Bernoullische Ungleichung (1 + a)n ≥ 1 + n ⋅ a. Für n > 1 und a ≠ 0 gilt die strikte Ungleichung. 26. Wir zeigen die strikte Ungleichung für a ≥ −1, a ≠ 0 und n ≥ 2. Beweis durch vollständige Induktion. Für n = 2 ist die Behauptung offensichtlich wahr. Sei die Behauptung für ein n ∈ N, n ≥ 2, wahr. Wegen 1 + a ≥ 0 gilt dann nach Induktionsvoraussetzung (1 + a)n+1 = (1 + a)(1 + a)n ≥ (1 + a)(1 + n ⋅ a) > 1 + (n + 1) ⋅ a. 9 Lemma. Sei n ∈ N und sei a ∈ K, a ≥ −1. Dann gilt die verschärfte Bernoullische Ungleichung (1 + a)n ≥ 1 + n ⋅ a + (n − 1) ⋅ a2 .

Sei also n < m. Dann ist m − n ∈ N. Also folgt aus dem gerade bewiesenen Lemma, dass m−n m m n 0 < (m − n) ⋅ 1 = ∑ 1 = ∑ 1 = ∑ 1 − ∑ 1 = m ⋅ 1 − n ⋅ 1 k =1 k=n+1 k =1 k =1 und hieraus n ⋅ 1 < m ⋅ 1, wie behauptet. 12 Bemerkungen. 11 rechnet man in N nauso wie in N und die Anordnungseigenschaften übertragen sich von N auf ̃ . Deshalb sagen wir, dass jeder angeordnete Körper K „eine Kopie von N“ N ̃ und enthält. Künftig unterscheiden wir nicht zwischen n ∈ N und n ⋅ 1 ∈ N „identifizieren“ n mit n ⋅ 1.

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Semesterpaket Analysis: Analysis I by Friedmar Schulz


by Mark
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